Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

..Тензор Леви-Чивиты

Определение

Тензором Леви-Чивиты называется трехмерный массив чисел , которые определяются, как , где – символы Веблена. Элементы массива при этом называются координатами тензора Леви-Чивиты.

Разница между введенным таким образом математическим объектом и известными нам уже символами Веблена кажется несущественной, но, тем не менее, она принципиальная. В самом деле, символы Веблена никак не связаны с системами координат и для них вопрос о преобразовании при переходе к другим координатным системам вообще не стоит. В связи с этим не важно где писать индексы: вверху или внизу. Координаты тензора Леви-Чивиты связаны с координатной системой через метрический тензор .

Давайте посмотрим, что мы можем сказать о законе преобразования координат тензора Леви-Чивиты.

Допустим, что у нас имеется два яблока... я хотел сказать – две системы координат e и e'. Лучше бы у нас было два яблока, впрочем будем довольствоваться тем, что есть. Итак, у нас есть две системы и мы можем записать выражения для координат в них обеих: и . Найдем связь между этими координатами, используя зависимость между метрическими тензорами, точнее между их определителями .

Пусть , тогда

.

Но , следовательно,

или, как принято записывать, и, что конечно же, то же самое: .

Мы получили зависимость между координатами тензора Леви-Чивиты в старом и новом базисах:

.

Соответственно может быть найдена и обратная зависимость:

.

Отношение обозначим, как мы это уже делали раньше, буквой s. Из этого определения автоматически вытекает, что s = 1, если ориентации (правая или левая) старого и нового базисов совпадают, и s = -1, если ориентации противоположны, тогда

и .

Если отнестись к закону преобразования координат как к формальному преобразованию индексов, то можно отметить полное совпадение с преобразованием ковариантных индексов вектора, за исключением, конечно, знака. Но если использовать только, например, правые координатные системы, то никаких отличий не остается. Это свойство координат тензора Леви-Чивиты позволяет использовать их в одних математических выражениях вместе с векторами, получая при этом инвариантные относительно случайного выбора координат выражения.

Приведем такой пример. Свернем тензор Леви-Чивиты с тремя векторами , и : в некоторой координатной системе. В других координатах для этого числа мы получим другое выражение: . Для того, чтобы эти числа сравнить, приведем выражения к одной системе координат. Для этого выразим новые координаты через старые, используя закон их преобразования.

.

Мы получили, что и, следовательно, результат вычисления не зависит от выбора координат. Если развернуть данное равенство, , то мы увидим его геометрическое содержание. Обе части уравнения, и правая и левая, равны объему параллелепипеда, построенного на векторах , и . Следовательно, тензоры Леви-Чивиты, наряду с векторами, пригодны для отражения как геометрической, так и физической реальности, независимой от произвольного выбора систем координат. Можно сформулировать это правило и в более общем виде: индексированные математические объекты, законы преобразования индексов которых совпадают с векторными, могут быть использованы для отражения как геометрической, так и физической реальности, независимой от выбора систем координат.

Индексированные математические объекты (массивы чисел), закон преобразования индексов которых совпадает с векторным, принято называть тензорами. Слово "тензор" впервые появилось в теории упругости в 1900г. Фохт назвал так систему коэффициентов, которая определяет деформацию упругого тела. Латинское слово "tendo" означает "натягивать", "растягивать". Из теории упругости это слово заимствовали создатели теории тензоров Риччи и Леви-Чивита в 1901 г. После опубликования работ А. Эйнштейна по специальной, и особенно, по общей теории относительности, тензоры стали популярными среди физиков. В настоящее время повышенный интерес к теории тензоров демонстрируют механики – тензор возвращается к своей alma mater.

Координаты вектора могут быть как ковариантными, так и контравариантными, и связь между ними осуществляется при помощи метрического тензора: и . Используя это правило, мы также можем получить контравариантные координаты и для тензора Леви-Чивиты:

.

Следовательно, . Индексы в символе Веблена можно записывать как снизу, так и сверху. То, что мы индексы записали сверху, еще не говорит, что перед нами контравариантный тензор. Чтобы это утверждать наверняка, мы должны проверить закон преобразования полученного объекта. Пусть – контравариантные (как мы предполагаем) координаты тензора Леви-Чивиты в новой системе координат. Используя , получаем:

, и,

следовательно: , что действительно соответствует контравариантным преобразованиям индексов. Символ s, как обычно, учитывает изменение знака при преобразовании от правых систем к левым и наоборот. В остальном координаты тензора Леви-Чивиты аналогичны символам Веблена и, следовательно, для них будут справедливы следующие выражения:

1.

Доказательство

;

2.

Доказательство

3.

Единственной особенностью этих выражений является то, что свертывание производится только по индексам, занимающим различное положение. Конечно, можно вычислить и такую свертку: , но результат в этом случае будет зависеть от выбора системы координат:

.

К тому же, этот четырехмерный массив преобразуется по законам отличным от тензорных. Для сравнения приведем оба закона.

"правильная" свертка:

;

"неправильная" свертка:

.

Мы видим, что "правильная" свертка преобразуется как четырехмерный массив с двумя верхними и двумя нижними индексами. В случае "неправильной" свертки мы получаем правило преобразования координат отличное от тензорного.

В заключение этого раздела, чтобы еще раз напомнить, что тензор Леви-Чивиты является массивом, приведем его в табличном представлении по аналогии с символами Веблена:

.

..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах

О векторном умножении мы достаточно говорили в свое время. Единственное, чего у нас пока нет, так это общего выражения для векторного умножения в произвольных косоугольных координатах. Все необходимые средства для решения этой проблемы в настоящий момент у нас уже имеются. Сейчас мы проделаем заново путь, который мы уже однажды прошли, когда рассматривали векторное умножение в декартовых координатах. Однако теперь мы воспользуемся произвольными косоугольными координатами. Начнем с общего выражения для ориентированного объема.

Разложим определитель по первому столбцу.

Представим сумму в виде скалярного произведения двух векторов.

.

Второй вектор в этом скалярном произведении называется векторным произведением векторов и , что записывается следующим образом:

.

Свернув выражение в скобках, мы получим знакомую формулу:

.

Особенностью полученной формулы является то, что по известным контравариантным (обычные) координатам векторов и мы получаем ковариантные (необычные, странные) координаты их векторного произведения. Если же нам все же нужны контравариантные координаты, а чаще всего так и бывает, мы можем опустить индексы при помощи метрического тензора:

.

При выводе мы учли, что и взаимно обратные матрицы и, поэтому, . Мы использовали также правило преобразования ковариантных координат: . Учитывая то, что промежуточные преобразования мы опустили, вывод нельзя назвать уж очень простым. Гораздо удобнее подобные преобразования проводить в индексной форме:

Здесь мы воспользовались тем, что представляет собой определитель с переставленными столбцами, и он равен .

Приведем еще раз выражения для векторного умножения в компактной индексной форме:

Осталось проверить закон преобразования координат для того, чтобы не осталось никаких сомнений в том, что мы действительно имеем дело с вектором. Пусть – векторное произведение векторов и , вычисленное в новом базисе, а – ковариантная координата этого произведения.

.

Мы воспользовались здесь тем, что . Далее займемся произведением .

.

Продолжим начатое преобразование:

, где – k-ая координата того же вектора в старом базисе.

Следовательно: .

Аналогично можно получить, что .

Закон преобразования координат получился вполне векторным, за исключением знака, который изменяется на противоположный при переходе от левой системы координат к правой и наоборот. Это свойство векторного произведения мы подробно обсуждали раньше и, поэтому не будем больше на нем останавливаться.