[ •• ]

Тензор градиента плоского поля скоростей в полярных координатах

Тензор градиент плоского векторного поля в декартовой системе координат

Перейдем к полярной системе координат.

1 Выразим координаты вектора в декартовой системе через координаты в полярной системе координат.

2 Выразим производные и через производные и .

, .

Для вычисления производных , , и воспользуемся зависимостями

и

После вычислений получим

и , .

Полученные выражения позволят выразить координаты тензора в терминах полярной системы координат, но это все еще координаты тензора в декартовой системе. Это означает, что, используя информацию о векторном поле в полярных координатах, мы вычисляем координаты тензора в декартовых координатах. Чтобы получить тензор в полярных координатах, следует выполнить еще одно преобразование: преобразование координат тензора.

3 Преобразование координат тензора.

Введем для краткости обозначения .

Закон преобразования координат тензора

, где , – координаты тензора соответственно в полярной и декартовой системах;

,

Выполнив перемножение матриц, получим полярные координаты тензора

;

;

;

.

При этом

Теперь, если все собрать вместе и выполнить все необходимые преобразования, то мы должны получить

– тензор в полярных координатах.

Я написал "должны получить", однако вычисления настолько громоздкие, что, например, мне без использования специальной программы по компьютерной математике ("Maxima") так и не удалось прийти к этому результату. Зато я знаю, как получить правильный результат почти мгновенно. Сейчас покажу.

Вот и все.