1 Производная от символа Кронекера равна нулю.
2 Абсолютная производная от произвольного постоянного тензора равна нулю.
Того же самого нельзя сказать про производные координат тензоров.
3 Абсолютная производная от скаляра – это просто частная производная.
4 Производная суммы тензоров равна сумме производных.
5 Производная от произведения тензоров.
5' Производная от свертки векторов
Пусть
Возьмем производную от правой части, как от тензора второго ранга.
Тот же результат можно получить быстрее, если вспомнить, что свертка векторов – это скаляр.
6 Абсолютная производная метрического тензора равна нулю.
Пусть
и
– произвольные постоянные
векторы. Тогда их скалярное произведение
будет иметь некоторое постоянное
значение
.
Отсюда
получаем:
.
Так как
и
произвольные векторы, то
.
6' Частная производная метрического тензора
Отсюда получаем
7 Абсолютная производная тензора Леви-Чивиты равна нулю.
Пусть
и
– произвольные постоянные
векторы. Тогда их векторное произведение
будет иметь некоторое постоянное
значение
.
Отсюда
получаем, что
При некоторых фиксированных значениях m и k получаем уравнение:
Если
взять три произвольных некомпланарных
вектора
,
и
,
то можно получить три линейно
независимых уравнения
Откуда и следует, что производные от тензора Леви-Чивиты с разными значениями индексов равны нулю. Значения же тензора с одинаковыми значения индексов тождественно равны нулю, следовательно и их производные тоже равны нулю.
8 Символы Кронекера, метрического тензора и тензора Леви-Чивиты можно выносить за знак абсолютной производной.
9
Результат повторного ковариантного
дифференцирования в евклидовом
пространстве не зависит от порядка его
выполнения
.
В евклидовом пространстве всегда есть возможность перейти к декартовой системе координат. Но в декартовой координатной системе ковариантная производная совпадает с обычной частной производной, то есть
Но утверждение справедливое для тензора в одной координатной системе будет справедливым и в любой другой.