[ •• ]

Тензор градиент векторного поля в цилиндрических координатах

Тензор градиент векторного поля в цилиндрических координатах.

Перейдем к ортонормированным координатам.

, где

и

Переход к физическим координатам вектора поля .

, , .

Вычислим производную

, остальное легко.

Попытка вычислить тензор сразу

С одной стороны

, где – вектор бесконечно малого перемещения.

Можно сказать, что градиент – это оператор, преобразующий вектор перемещения в вектор приращения векторного поля.

С другой стороны, если , то

, где – почти символ Кристоффеля.

Вычислим значения "почти символов Кристоффеля". Очевидно, что для ортонормированного базиса цилиндрических координат ненулевые значения принимают только два символа: и .

Последние формулы понятны из рисунка.

Более наглядным получается результат в матричной форме

Если его сравнивать с формулой, выделенной красным цветом, то можно заметить, что во второй строке не хватает множителя .

Почему так получилось? Вернемся к тому, что записано в параграфе "с одной стороны". Там сказано, что матрица представляет собой матрицу координат бесконечно малого перемещения. В последнем выражении матрица составлена из дифференциалов независимых переменных и это не одно и то же.

На следующем рисунке показано, как найти координаты вектора элементарного смещения .

Выделим элементарное смещение в формуле для дифференциала векторного поля

Мы видим, что оба способа привели к одинаковым результатам. А разве могло быть иначе?