[ •• ]

Производная от интеграла по подвижному объему

(По книге Л. И. Седого [121-122 с.])

Масса жидкой частицы не зависит от времени, поэтому: , и если бы мы умели вычислять такие производные, то мы смогли бы использовать это для получения условия неразрывности сплошной среды. Однако вычисления осложняются тем, что в этом случае от времени зависит не только подынтегральное выражение, но и граница интегрирования (поверхности частицы). Рассмотрим данную проблему подробнее.

Пусть V – объем некоторой жидкой частицы, ограниченной поверхностью Σ. За малый промежуток времени этот объем переходит в объем V' с поверхностью Σ'.

Представим, что нас интересует производная интеграла . По определению производной

Как видно из картинки , поэтому последнее слагаемое равно

Последний интеграл представляет собой поток вектора через поверхность Σ. Используя теорему Гаусса-Остроградского, перейдем от поверхностного интеграла к объемному

Собрав все вместе, получим:

Полученный результат удобнее представить в виде двух формул

(1)

(2)

Теперь мы можем вернуться к выводу уравнения неразрывности.

Масса жидкой частицы не зависит от времени, поэтому:

и поскольку это равенство справедливо для любого индивидуального объема, то .

Уравнение неразрывности

1 2

Для несжимаемой жидкости .