[ •• ]

Теорема Гаусса-Остроградского

Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему V, охваченному поверхностью.

Умножим каждый интеграл на малый промежуток времени ∆ t.

Если вектор трактовать как вектор скорости, то, как видно из рисунка, . То есть левый интеграл равен увеличению объема области за промежуток времени ∆ t.

С другой стороны, дивергенция скорости равна относительному изменению объема в единицу времени. Если разбить область V на бесконечно малые области d V, то изменение объема каждой такой малой области можно рассчитать по формуле:

.

Следовательно интеграл справа тоже дает приращение объема области V за промежуток времени ∆ t, что и доказывает теорему для вектора скорости. Очевидно, что теорема будет справедлива и для любого другого вектора, поскольку его всегда можно трактовать, как вектор скорости.

Следовательно для любого вектора справедлива теорема Гаусса-Остроградского

.

В декартовой системе координат

Координаты вектора можно заменить на три произвольные непрерывные и дифференцируемые функции.

Обобщим теорему Остроградского на тензоры второго ранга. Для этого в качестве произвольных функций выберем координаты тензора . Запишем три равенства

Откуда следует, что в декартовой системе координат будет выполняться равенство

, или .

Поскольку под знаками интегралов записаны инвариантные выражения, то равенство будет выполняться в любой координатной системе.

Для механики особый интерес представляет случай, когда тензор является тензором напряжений. Если вектор напряжения обозначать , то . Следовательно интеграл слева представляет собой сумму сил, приложенных к поверхности области. Обозначим эту сумму P. Откуда . На замкнутую область кроме поверхностных сил могут действовать и объемные силы. Главный вектор объемных сил обозначим F.

Рассмотрим бесконечно малый элемент области и покажем на нем только те напряжения, которые приводят к появлению сил в направлении оси x.

– составляющая объемных сил в направлении оси x.

Проекция всех сил на ось x.

Проинтегрировав по всей области, получим

– сумма проекций на ось x всех внешних сил (как поверхностных так и объемных), действующих на область.

Аналогично можно записать, что

Из чего следует, что .

И мы снова доказали, что . Поскольку тензор напряжений симметричен, можно записать и так .

Поток тензора напряжения через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции тензора по объему, заключенному внутри поверхности.