[ •• ]

Формула Пуазейля

Дает зависимость потока жидкости, протекающей через длинный капилляр постоянного сечения от перепада давления на концах капилляра. Предполагается ламинарный режим течения жидкости.

Для вывода зависимости воспользуемся уравнениями динамики в ортонормированной цилиндрической системе. Осесимметричный случай.

,

где

u, w – проекции скорости;

P – давление;

ρ – плотность;

μ – динамическая вязкость;

r, z – цилиндрические координаты.

Перед тем, как вплотную заняться уравнениями, подытожим все, что нам уже известно по данной задаче.

При ламинарном течении жидкости по длинному капилляру постоянного сечения скорость в любой точке направлена по оси Z. Следовательно все компоненты скорости кроме компоненты, направленной по оси Z, равны нулю. В силу осевой симметрии и постоянства сечения капилляра скорость w зависит только от расстояния до оси r.

Скорость течения в непосредственной близости к стенкам капилляра можно принять равной нулю. Свое максимальное значение скорость принимает в точках, лежащих на оси.

Посмотрим, что нам даст первое уравнение.

Поскольку получаем, , откуда следует, что давление постоянно в сечении перпендикулярном оси (рис 1).

Второе уравнение.

Для стационарного состояния локальная производная равна нулю. И, поскольку и , левая часть равна нулю. В правой части нулю равна вторая производная . С учетом сделанных замечаний упрощаем уравнение.

. Поскольку P не зависит от r, равенство возможно только при линейной зависимости от z. Следовательно .

, где A – константа.

Поскольку w зависит только от одной переменной (r) частную производную заменяем на обычную.

Сделаем замену

Сделав еще одну замену приходим к уравнению с разделяющимися переменными

.

Решая уравнение и возвращаясь к первоначальным переменным, приходим к уравнению:

, где B – константа. Из равенства нулю левой части уравнения при следует, что . Таким образом мы приходим к уравнению .

Решая уравнение получаем , где B – константа, которая определяется из граничных условий: при .

Окончательное выражение для скорости

Из этой формулы можно получить выражение для скорости на оси Z: .

Найдем поток жидкости через капилляр.

И окончательно .