Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

Пусть нам даны два вектора и , которые заданы своими координатами в произвольной косоугольной системе координат , и :

; .

Как вычислить скалярное произведение этих векторов? Чему равно

Если бы речь шла о декартовой системе координат, то все было бы просто: . Однако для произвольной системы координат это равенство не выполняется. Тем не менее мы можем им воспользоваться. Для этого нам всего лишь необходимо перейти от произвольной системы координат к декартовой.

и

.

Теперь мы можем записать:

.

Введем обозначение:

.

Матрицу будем называть таблицей или матрицей координат метрического тензора.

Очевидно, что , или

.

Перепишем теперь формулу для скалярного умножения с учетом введенных обозначений:

, и в индексной форме:

.

Данная формула для скалярного произведения является общей. Она справедлива для произвольной косоугольной системы координат. В декартовой же системе матрица координат метрического тензора совпадает с единичной матрицей.

В самом деле, для декартовой системы

, и , следовательно, и

.

Метрический тензор представляет собой набор коэффициентов , привязанный к определенной системе координат. Если мы переходим к другой системе, то в общем случае будем иметь и другие коэффициенты метрического тензора, которые принято называть координатами. Координаты метрического тензора зависят от выбранной координатной системы и непосредственно выражаются через ее базисные векторы. Тем не менее метрический тензор, также как и вектор, отражает вполне определенную геометрическую реальность, поскольку его координаты в различных координатных системах связаны известным законом преобразования.

Найдем закон преобразования координат метрического тензора.

, следовательно,

и есть искомый закон преобразования координат метрического тензора в индексной и в матричной формах. Мы обвели этот закон рамочкой, поскольку в тензорной алгебре он играет принципиальную роль, а нам он встретился впервые. В дальнейшем мы сможем убедиться, что этот закон проявляется при изучении самых разнообразных объектов. Для начала следует обратить внимание на принципиальное сходство его с законом преобразования координат вектора:

Свойства метрического тензора.

1. Матрица координат метрического тензора симметрична.

Это свойство непосредственно следует из определения. В самом деле:

, но и, следовательно, .

2. Матрица метрического тензора определяет линейные размеры базисных векторов и углы между ними.

и .

.

В этих формулах не используется правило суммирования по повторяющимся индексам.

Метрический тензор аккумулирует в себе информацию о метрических свойствах пространства. Он необходим для вычисления длин векторов, углов между ними, расстояний между точками, площадей фигур и объемов тел. Иногда даже говорят, что метрический тензор определяет метрику пространства, хотя, если мы имеем дело с классической евклидовой геометрией, метрика всегда предполагается заданной. Необходимо только определиться с масштабами длин и углов. Но если мы имеем дело с некоторым абстрактным векторным пространством, понимая под векторами нечто отличное от направленных отрезков, мы можем столкнуться со случаями, когда расстояние между точками пространства определяется по другим правилам. Возможны также случаи, когда расстояние вообще нельзя никак определить. Векторные пространства, в которых правила для определения расстояниями между его точками не определены или не имеют смысла, называются аффинными, а свойства таких пространств изучает аффинная геометрия. Так вот, аффинную геометрию можно наделить метрическими свойствами и можно это сделать различными способами. Выбор способа и конкретного правила зависит от того, какую реальность мы хотим таким образом смоделировать. Одним из таких способов и является задание координат метрического тензора. В этом случае метрический тензор будет определять метрику пространства.

3. Матрица метрического тензора в ортонормированном базисе совпадает с единичной.

; ; ;

; ; .

4. Закон преобразования координат метрического тензора

.

5. Определитель матрицы метрического тензора на плоскости равен квадрату площади базисного параллелограмма.

Докажем это.

Обозначим площадь базисного параллелограмма , тогда .

Но . А . Следовательно,

.

Учитывая, что , получаем: .

6. Определитель матрицы метрического тензора в трехмерном пространстве равен квадрату объема базисного параллелепипеда.

Построим параллелепипед на векторах , и (рис. 43). Из конца вектора опустим перпендикуляр h на основание: параллелограмм, построенный на векторах и . Объем параллелепипеда равен , где – площадь основания.

.

Для того чтобы вычислить объем, нам осталось найти высоту параллелепипеда h. Из точки пересечения высоты h и плоскости основания опустим перпендикуляры x и y на боковые ребра параллелепипеда. Перпендикуляры отсекут на ребрах при этом отрезки a и b. Длины отрезков мы можем найти как

, .

Из уравнения мы смогли бы найти h, если бы знали x.

Для того чтобы найти x, обратимся к рис. 44, на котором изображен вид сверху на плоскость основания параллелепипеда.

Точка O является основанием высоты h, которая на рисунке не показана. x и y – перпендикуляры, опущенные на стороны параллелограмма, следовательно, треугольники и прямоугольные. Вертикальные углы и равны углу .

Катет BC прямоугольного треугольника с одной стороны равен

, с другой стороны, тот же катет равен .

Приравнивая эти выражения и умножая на , получаем первое уравнение:

.

Рассматривая второй прямоугольный треугольник , мы приходим ко второму уравнению: .

Заменяя a и b соответствующими выражениями, мы приходим к системе уравнений:

,

решая которую, находим x; y нам не нужен.

.

Подставляя x в уравнение , получаем:

.

Решая уравнение относительно , получаем:

.

Подставим полученное выражение в формулу для объема и произведем необходимые преобразования

.

Вот и все, осталось только узнать в полученном результате выражение для определителя. Развернем определитель метрического тензора, учитывая симметрию его элементов.

.

Теперь мы можем констатировать, что определитель матрицы метрического тензора равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на векторах базиса:

.

Определитель метрического тензора часто возникает в уравнениях, поэтому для него используется специальное обозначение: .

Приведенное нами доказательство является чисто геометрическим. Оно не зависит от случайностей произвольного выбора координатных систем, оно использует только испытанные и вызывающие доверие приемы элементарной геометрии и в этом его достоинство. Однако, как и многие другие прямые геометрические доказательства, оно трудоемко и требует терпения и аккуратности. Развивая алгебраические идеи теории векторов, мы готовы дать другое, менее мучительное доказательство шестого свойства метрического тензора.

Воспользуемся законом преобразования координат метрического тензора. Пусть нам известны координаты метрического тензора в некоторой системе координат:

.

Перейдем к некоторой ортонормированной системе и найдем координаты метрического тензора в ней, воспользовавшись для этого законом преобразования координат.

, где звездочкой обозначен, как всегда, индекс, соответствующий названиям базисных векторов декартовой системы координат, а – матрица метрического тензора в декартовой системе. Но в декартовой системе координат матрица метрического тензора совпадет с единичной матрицей, следовательно: . Умножив полученное уравнение справа и слева на матрицы и , получим:

.

Теперь вспомнив, что ,

выразим .

Чтобы яснее было видно, что получилось, выпишем матрицы подробно:

.

Матрица составлена из координат векторов базиса в ортонормированной системе координат. Следовательно, ее определитель равен ориентированному объему параллелепипеда, построенного на векторах , и . А так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, и определитель матрицы не изменяется от ее транспонирования, то:

, где s означает, как всегда, знак ориентированного объема.

Продемонстрируем еще одну идею доказательства.

Воспользуемся на этот раз определением

.

Воспользуемся некоторой ортонормированной системой координат. Выражая скалярные произведения через координаты векторов , и в ортонормированной системе, получим:

.

Ну а дальше, все как в предыдущем доказательстве.

7. Матрица метрического тензора симметричная и положительно определенная.

О том, что матрица симметричная мы уже говорили в первом нашем свойстве. Но между первым свойством и седьмым мы говорили об очень многих разных вещах, так что не грех будет и повториться. Что касается положительной определенности (напомним, что положительно определенной матрицей называется матрица, определитель которой больше нуля), то из шестого свойства сразу следует .

На этом, пожалуй, можно и закончить разговор о метрическом тензоре.