Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

Векторы удобны для работы с теми или иными величинами, обладающими "векторными" свойствами. Векторы позволяют задать такие величины, т.е. дать им численную характеристику. Но на проблеме описания величин потребности науки и практики никогда не исчерпываются. Любая теория, прежде всего исследует связи или зависимости между изучаемыми величинами. Для отражения связей между различными величинами в математике вводится понятие функции. Наиболее простой, досконально проработанной и исследованной во всех деталях, является теория функций числового аргумента. То, что координатный метод позволяет использовать все достижения теории функций для описания функциональных зависимостей между векторными величинами можно считать одним из главных его достоинств. Для того чтобы задать функциональную зависимость между двумя векторными величинами и , достаточно определить три функции трех числовых аргументов:

.

Имеющийся набор хорошо исследованных элементарных, и не очень элементарных и совсем не элементарных функций позволяет задать практически любую мыслимую зависимость между векторными величинами. Наиболее простой вид зависимости между векторами определяют линейные функции:

, где– действительные числа.

При всей своей простоте линейная зависимость обладает широкими выразительными возможностями. К тому же, если ограничить область исследования достаточно малой областью изменения величин, зависимость между ними почти всегда можно считать приближенно линейной.

Линейной является зависимость между дифференциалами координат векторов и :

.

Последнее обстоятельство особенно важно для математического анализа.

Особую роль линейные функции получили в последнее время благодаря широкой компьютеризации и порожденному ей стремительному развитию численных методов, которые, так или иначе, сводят любую задачу к решению больших систем линейных уравнений.

Подробно теория линейных функций или линейных преобразований, как ее часто называют, изучается в курсе линейной алгебры. Мы остановимся на этом предмете только для того, чтобы на отдельных примерах продемонстрировать те идеи, которые имеют отношение к нашему предмету.

Линейные функции часто записывают в виде операторов. Принципиальной разницы между понятием оператора и функции не существует. Разница в основном терминологическая. На языке функций мы можем сказать, что есть векторная функция векторного аргумента : . Используя понятие оператора, то же самое мы скажем так: "оператор F преобразует вектор в вектор : ". Вместе с тем каждый из подходов обладает своими особенностями. Когда мы говорим о функции, то мы под этим понимаем и саму функцию и ее значение. В записи же функции обычно перемешаны и аргументы и элементы, относящиеся непосредственно только к функции. "Операторный" язык, позволяет четко отделить саму функцию от ее аргумента и от ее значения. Оператор F можно представлять в виде некоторого рецепта, набора инструкций, компьютерной программы или даже некоего механизма, который поглощает все то, что стоит от него справа, и возвращает некий новый объект, который указывается, обычно, слева. Еще одной особенностью "операторного" языка является сходство его с матричной записью, что особенно полезно для линейных операторов.

Каждый линейный оператор может быть задан в виде линейных уравнений либо в матричной форме:

.

Но кроме этих двух, линейный оператор может быть задан и многими другими способами, например, при помощи такой инструкции: повернуть вектор, стоящий на входе на угол φ относительно оси x в направлении от оси y к оси z. Для выполнения этой инструкции нет необходимости прибегать к матричной записи, хотя она и может быть сделана. Поэтому, принято различать сам оператор, который выполняет некоторые действия с векторами, и его матрицу, как некоторый, но не единственный способ выражения этих действий.

Пусть линейный оператор, который преобразует некоторый вектор в вектор : . Пусть векторы заданы своими контравариантными координатами, тогда матрицу оператора , которая выполняет преобразование контравариантных координат вектора в контравариантные же координаты вектора будем обозначать . Запишем соответствующее преобразование в матричной форме: . Но векторы могут быть заданы и своими ковариантными координатами – выполним соответствующие преобразования:

;

.

Так как , то и, следовательно, матрица определяет то же самое преобразование, но через ковариантные координаты векторов.

Матрицу, выполняющую преобразование через ковариантные координаты будем обозначать , следовательно, выражение

определяет правило поднятия и опускания индексов для матрицы линейного преобразования. Аналогично можно записать, что

;

.

Мы видим, что с индексами элементов матрицы линейного преобразования можно производить операции по изменению их типа точно так же, как с индексами координат векторов. При этом мы получим четыре различные матрицы, которые при их правильном использовании, т.е. с координатами векторов соответствующего типа, приводят к одинаковому геометрическому результату.

Векторы также могут быть заданы в различных координатных системах. Пусть выражение определяет то же самое преобразование в новой координатной системе. Выразим координаты векторов в новой системе через их координаты в старой системе:

.

Умножим правую и левую части данного равенства на матрицу .

, следовательно:

.

Отсюда мы получаем связь между матрицами одного и того же преобразования в различных координатных системах:

.

Также можно доказать, что .

Если подходить к этому закону как к формальному преобразованию индексов, то нетрудно заметить полную идентичность этого преобразования с правилом преобразования индексов ковариантных и контравариантных координат векторов. Поэтому, элементы матриц , , и принято называть координатами одного и того же линейного преобразования или тензора различного типа. Отметим также, что законы преобразования координат и совпадают с законами преобразования координат метрического тензора и соответственно.

Прежде чем переходить к конкретным примерам линейных преобразований, получим простое правило, которое позволит нам в некоторых случаях легко вычислить их координаты.

Пусть один раз контравариантная и один раз ковариантная матрица координат некоторого линейного преобразования. Найдем результат ее действия на векторы, совпадающие с векторами базиса:

.

Символом мы обозначили результат воздействия оператора на вектор базиса . Для других векторов базиса мы получим аналогичные результаты: и . Следовательно:

.

Теперь мы можем сформулировать следующее правило.

Для того, чтобы найти матрицу координат линейного преобразования , необходимо:

1. "Подействовать" преобразованием на векторы базиса и найти результат этого действия.

2. Найти координаты преобразованных векторов базиса.

3. Составить матрицу из координат преобразованных векторов базиса как из столбцов.

Пример

Поставим задачу найти координаты линейного оператора зеркально отображающего произвольный вектор () относительно плоскости, проходящей через начало координат нормально к вектору единичной нормали n. Будем для простоты считать, что система координат декартова (рис. 47).

В соответствии с полученным нами правилом, найдем векторы, которые получаются в результате действия преобразования на векторы базиса. Для этого разложим произвольный (для определенности возьмем вектор ) базисный вектор на два вектора и . При этом вектор направим по нормали n к поверхности зеркала (рис. 47), а вектор расположим в плоскости зеркала.

, при этом , а

.

При отражении в зеркале вектор не изменяется, а вектор изменяется на противоположный. Это замечание позволяет нам легко найти отражение базисного вектора в зеркале:

.

Для произвольного вектора:

.

Теперь мы можем записать преобразованные базисные векторы в координатной форме.

, , .

На последнем этапе мы строим матрицу преобразования из найденных столбцов.

Задача решена. Общий метод работает, но не всегда общий метод является самым простым и коротким. Попробуем решить задачу иначе. Пусть вектор является произвольным вектором. Найдем результат действия преобразования на него. При этом мы используем основную идею, найденную в предыдущем решении.

Разложим вектор на два составляющих вектора таким образом, чтобы вектор лежал плоскости, а вектор был к ней ортогонален. При зеркальном отображении вектор преобразуется сам в себя, а вектор в ему противоположный (как и в предыдущем решении). Следовательно, зеркальное отображение вектор отобразит в вектор . Как и предыдущем доказательстве .

и, следовательно: . После несложных преобразований в индексной форме получаем:

.

Таким образом: . Это и есть общее выражение для координат оператора зеркального отображения в индексной форме. Нам кажется, что данный вывод короче и проще, впрочем, это дело вкуса.

В данном случае мы воспользовались преобразованиями в индексной форме, но если перейти к матричной форме записи, то мы получим тот же самый результат:

.

Следует заметить, что на этот раз мы не делали никаких предположений о базисных векторах, следовательно, формулу можно считать действительной для самого общего случая.

В декартовой системе координат мы можем воспользоваться более привычными обозначениями для проекций вектора единичной нормали n:

.

Для того, чтобы лучше понять смысл полученного выражения конкретизируем условие. Пусть

, а нормаль в декартовой системе координат.

Тогда

и

.

Дадим графическую иллюстрацию полученному решению.

Серьезной проблемой при решении задач на стереометрию оказывается сложность в выполнении пространственных чертежей. Данная задача хороша тем, что вектор n лежит в плоскости xoy. При этом вертикальная составляющая вектора лежит в зеркальной плоскости и при отражении не изменяется. Остается только выяснить, как изменяется составляющая , лежащая в плоскости xoy. Для этого достаточно изобразить только вид сверху, что мы и сделали на рис.49.