Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

..Скалярное умножение векторов

Впервые слово "скаляр" ввел в математику Виет, но современное значение ему придал Гамильтон (1843 г.), назвав скалярной величину отличную от векторной. Скалярная величина – это величина, которая может, в отличие от векторной, быть задана одним числовым значением. Проще говоря, скаляр – это число. По смыслу названия, при скалярном умножении векторов должно получаться число.

Определение скалярного произведения векторов (22)

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное умножение обычно обозначается точкой: .

Введение такой странной, на первый взгляд, операции находит как физическое, так и геометрическое оправдание.

Если – постоянная сила, которая действует на точку, а – вектор перемещения этой точки, то работа A, которая совершается силой на этом перемещении, может быть вычислена как скалярное произведение силы на перемещение: .

С геометрическими приложениями скалярного умножения мы познакомимся в дальнейшем.

Вспомнив, что и , мы можем записать: .

Свойства скалярного умножения

1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы взаимно ортогональны.

Пусть векторы и не равны нулю. Тогда из равенства нулю скалярного произведения следует, что , а это и означает, что .

Если же хотя бы один из векторов нулевой, то . С другой стороны, для нулевого вектора понятие направления не имеет смысла. Но раз смысла нет, то любое соглашение не погрешит против правды. Мы можем принять, что нулевой вектор параллелен любому другому, если захотим, или, что он ортогонален к любому направлению, что мы и сделаем. Но если нулевой вектор ортогонален к любому другому, в том числе и нулевому же, то и этот случай не является исключением.

2. Скалярное умножение векторов коммутативно (перестановочно).

– это сразу следует из определения.

3. Скалярное умножение ассоциативно по отношению к числовому множителю.

так же непосредственно следует из определения.

4. Скалярное умножение дистрибутивно (распределительно) относительно сложения векторов.

.

Данное свойство, несмотря на привычный вид, не является очевидным.

В самом деле (рис. 17), ,

а . Глядя на рис. 17, трудно предположить, что эти два выражения равны, однако это так.

Доказательство

Для доказательства мы используем свойства проекций.

.

Можно это свойство доказать и непосредственно вычисляя соответствующие длины и углы, но этот путь значительно дольше.

Скалярное умножение в декартовых координатах

Общее выражение для скалярного произведения в произвольных координатах значительно сложнее, и мы займемся им позже.

Для начала найдем результат скалярного умножения базисных векторов декартовой системы координат.

и аналогично .

и аналогично .

i j k i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1

Полученные результаты можно свести в таблицу скалярного умножения базисных векторов.

Теперь мы можем доказать следующее утверждение:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат: .

Доказательство

В самом деле,

. Воспользовавшись свойствами скалярного умножения и таблицей умножения для векторов базиса, мы получаем: .

..Некоторые примеры использования скалярного умножения

Длина или модуль вектора в координатной форме

Пусть произвольный вектор. Скалярное произведение этого вектора самого на себя равно:

С другой стороны, , следовательно,

и .

Расстояние между двумя точками

Пусть нам даны две точки и , и требуется определить расстояние l между ними. Проведем из начала координат в эти точки радиусы-векторы и , тогда . Модуль или длина вектора как раз и будет равна этому расстоянию. Следовательно,

.

Если расстояние между двумя точками мы обозначим , полученное выражение перепишется в виде:

.

В качестве следующих примеров рассмотрим доказательство двух теорем элементарной геометрии. Этим мы убьем двух зайцев: во-первых, вспомним элементарную геометрию, во-вторых, получим удовольствие от эффективности метода.

Теорема

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Совместим векторы и со сторонами параллелограмма (рис. 19), тогда сумма и разность этих векторов совпадут с его диагоналями.

и соответственно

.

Сложив эти выражения, мы получим:

.

Мы видим, что левая часть равенства – это сумма квадратов диагоналей. Правая же часть, как и следовало ожидать – сумма квадратов сторон.

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Совместим векторы и со сторонами треугольника (рис. 20), тогда вектор совпадет с третьей его стороной.

И окончательно: .

Напомним, что a и b означают модули соответствующих векторов.