Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

Мы получили в свое время выражения для вычисления площади и объема по координатам векторов в декартовой системе координат, но до настоящего момента мы не пытались вычислять площади и объемы в произвольных косоугольных координатных системах. Сейчас у нас есть все необходимое для решения этой задачи.

Пусть произвольные векторы , и заданы своими координатами в произвольной косоугольной системе координат , и . Перейдем к произвольной ортонормированной координатной системе с векторами базиса i, j и k. Поскольку правило суммирования, которое мы собираемся использовать, несовместимо с традиционными обозначениями ортов декартовой системы координат, мы введем свои обозначения:

базисные векторы:

; ; ;

произвольный базисный вектор декартовой системы координат: ;

координаты, соответственно: и

произвольная координата в декартовой системе: .

Запишем уравнения преобразования координат, используя принятые обозначения:

Имея декартовые координаты векторов , и , мы сразу же можем найти объем параллелепипеда, построенного на них:

Нетрудно заметить, что данный определитель равен определителю произведения матриц:

А поскольку определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то

.

Нетрудно заметить, что первый определитель составлен из координат векторов базиса косоугольной системы, а второй из координат векторов , и . Причем координаты векторов базиса даны в декартовой системе координат, а координаты векторов , и – в косоугольной системе.

До сих пор в наших рассуждениях мы не беспокоились по поводу знака ориентированного объема, который может получиться как положительным так и отрицательным, в зависимости от взаимной ориентации векторов , и и случайно выбранной ортонормированной системы. Теперь, когда общее выражение для объема получено, поговорим об этом.

Если векторы базиса декартовой системы координат и векторы , и образуют одинаковую ориентацию (левую или правую), то . При этом имеются две возможности:

1. Векторы базисов ортонормированной и косоугольной систем образуют одинаковую ориентацию. В этом случае

и, следовательно, .

2. Векторы базисов ортонормированной и косоугольной систем образуют противоположную ориентацию. В этом случае

и, следовательно, .

Если же векторы базиса декартовой системы и векторы , и образуют противоположную ориентацию, то . При этом также имеются две возможности:

1. Векторы базисов ортонормированной и косоугольной систем образуют одинаковую ориентацию. В этом случае

и, следовательно, .

2. Векторы базисов ортонормированной и косоугольной систем образуют противоположную ориентацию. В этом случае

и, следовательно, .

Отсюда можно сделать вывод, что

, если векторы косоугольного базиса и векторы , и образуют одинаковую ориентацию и

, если наоборот, векторы косоугольного базиса и векторы , и образуют противоположную ориентацию.

В свое время мы отметили это свойство определителя, составленного из декартовых координат векторов. Теперь мы доказали его для общего случая. Мы уже отмечали, что при определении ориентированного объема есть две возможности. Первая – выбрать одну из ортонормированных систем за эталонную и назвать ее правой системой. Знак ориентированного объема при этом связывается с раз и навсегда выбранной эталонной правой системой координат. Вторая возможность заключается в том, что знак ориентированного объема связывается с текущей системой координат. Никакой выделенной системы координат при этом не требуется. В этом случае ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах , и считается положительным, если векторы , и образуют ту же самую ориентацию, что и векторы базиса текущей системы координат. Принципиальной разницы в этих подходах нет, и оба они являются востребованными.

Мы изберем вторую возможность, но для этого нам придется подправить полученную формулу для объема.

Мы заключили первый определитель в вертикальные рамки, что означает модуль от определителя. Теперь знак ориентированного объема зависит только от знака второго определителя, который и задает относительную от текущей системы координат ориентацию. Запишем последнее выражение в условной сокращенной форме:

.

– означает определитель, составленный из координат векторов , и как из столбцов.

Продолжим анализ полученного выражения.

Определитель , составленный из координат базисных векторов , и в декартовой системе координат, равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Мы уже доказали, что объем базисного параллелепипеда может быть выражен через метрический тензор следующим образом: . Следовательно, . Это позволяет еще немного усовершенствовать нашу формулу для ориентированного объема:

.

Данная формула хороша тем, что в ней исчезает всякое упоминание о произвольной и вспомогательной по сути декартовой системе координат. Она была нам полезна при выводе, но в окончательное выражение не вошла. "Мавр сделал свое дело, мавр может уходить".

Поставим теперь задачу найти связь между выражениями для ориентированного объема в двух произвольных косоугольных системах координат. Начнем с выражения для объема в базисе .

.

Прежде чем продолжать преобразования дальше, вспомним, что

, и, следовательно, . А поскольку всегда и , то . Аналогично можно доказать, что . Если теперь вспомнить, что , то можно получить более удобные для запоминания варианты этих формул:

и .

Но это к слову, а сейчас нам нужна формула , используя которую, мы продолжим наши преобразования.

.

Мы воспользовались тем, что , а .

Определитель составлен из координат векторов в базисе , следовательно, он больше нуля, если ориентации двух базисов совпадают и меньше нуля в противном случае. Окончательно мы можем записать

.

Ориентированные объемы в различных базисах совпадают с точностью до знака, причем знаки совпадают, если базисы ориентированы одинаково. Такие величины, которые совпадают почти всегда, но изменяют свой знак при переходе от левой системы координат к правой и наоборот называются относительными инвариантами. Следовательно, ориентированный объем – это относительный инвариант.

Все, что мы сказали про ориентированный объем, справедливо и для ориентированной площади, поэтому соответствующую формулу мы дадим без вывода:

..Индексная форма записи для выражений с определителями

Формула для ориентированного объема, которую мы получили ранее

– –

хороша во всех отношениях, за исключением одного: мы не знаем, как ее записать в индексной форме. Между тем, индексная форма записи, по ряду причин, которые мы обсуждать пока не готовы, является в тензорной алгебре основной. В этой своеобразной тензорной письменности имеются, конечно, известные возможности для записи подобных выражений. Эти возможности вытекают из самой природы определителя, хотя и не лежат непосредственно на поверхности, и нам придется затратить немало усилий, чтобы их извлечь.

Перейдем к преобразованиям.

.

Данное выражение получено при помощи правила треугольников и может быть проверено непосредственным вычислением всех определителей. Характерной особенностью данного выражения является то, что каждое слагаемое содержит в качестве одного из сомножителей определитель, составленный из столбцов единичной матрицы, переставленных всеми возможными способами. Непосредственным подсчетом можно проверить, что каждый из определителей равен либо плюс, либо минус единице.

Аналогичное, но более полное выражение, содержащее все варианты определителей с переставленными столбцами единичной матрицы в том числе и с повторениями, можно получить, раскладывая каждый из столбцов определителя на сумму столбцов специального вида, ведя преобразования таким образом, чтобы, в конце концов, в каждом определителе все столбцы содержали бы только по одному элементу.

Покажем, как это можно сделать.

Это первый шаг.

Далее раскладываем аналогичным образом каждое из слагаемых.

...

Продолжаем таким образом до тех пор, пока в каждом столбце не останется по одному элементу. После этого поделим каждый столбец на оставшийся элемент и одновременно умножим на него определитель. В результате мы получим сумму аналогичную той, что мы записали выше, но содержащую большее количество слагаемых. Правда, все они за исключением шести будут равны нулю. Мы не будем приводить эти преобразования, а запишем сразу окончательный результат. Но прежде чем это сделать, введем специальные обозначения для определителей, составленных из столбцов единичной матрицы, которые входят в каждое слагаемое.

Отталкиваясь от общепринятого обозначения для единичной матрицы

,

для матрицы, построенной из i-ого, j-ого и k-ого ее столбцов, введем следующее обозначение – . Например,

.

Определитель матрицы будем обозначать просто . Например,

.

Каждый такой определитель равен или нулю, или единице, или минус единице:

Остальные определители равны нулю.

Всего таких определителей с различными сочетаниями индексов 27, и они образуют трехмерный массив чисел, большая часть которых равна нулю. Эти числа могут быть записаны в виде одной таблицы:

.

К сожалению это только таблица, а не матрица, поскольку не существуют правила действий с трех и более индексными матрицами. Следовательно матричная алгебра в действиях с такими таблицами нам не поможет. Основным языком для записи выражений с такими массивами является индексная форма. Тем не менее, мы будем иногда в целях наглядности пользоваться такими таблицами, поскольку индексная запись при всех ее достоинствах скрывает общую картину событий происходящих при операциях с массивами (в основном масштабы этих событий).

Используя введенные обозначения, мы можем наконец-то записать выражение для определителя, составленного из координат векторов, в развернутой форме:

,

и в краткой форме:

.

Аналогично можно записать выражение для определителя произвольной матрицы:

.

С использованием же правила суммирования оба эти равенства приобретают еще более краткое начертание:

; .

Мы начали этот раздел с формулы для объема. Заканчивая его, мы снова обращаемся к ней, но уже с учетом новых возможностей.

Теперь это будет так:

.