Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

..Объем параллелепипеда, построенного на векторах

Вы когда-нибудь чистили лесную клубнику? Ягоды мелкие с одного боку красные, а с другого зеленоватые. От каждой ягоды нужно отщипнуть листочки. Работа нудная и утомительная. Постепенно руки становятся липкими и тяжелыми, листочки к ним пристают, что раздражает. Спина начинает ныть от длительного сидения. Но вот наконец-то ягоды заканчиваются и ты почти счастлив... В этот момент родители ставят на стол еще одну корзину, и все внутри обрывается. Ты, конечно же знал о ней, но в глубине души надеялся, что как-нибудь обойдется. Нет не обошлось, никуда не денешься, работу надо выполнять до конца.

Мы тоже выполним нашу работу до конца, хотя так и подмывает сказать, что в трехмерном случае все аналогично, и записать окончательные результаты. Мы бы так и поступили, если бы промежуточные результаты нас не интересовали, но они нас интересуют. Достаточно сказать, что впервые при выводе формулы для объема в центре нашего внимания появится понятие об ориентации пространства. А это понятие стоит того, чтобы остановиться на нем подробнее. Тем не менее мы постараемся всячески облегчить нашу работу, опуская многочисленные утомительные подробности, используя сходство с задачей о площадях.

Для начала рассмотрим наиболее простые частные случаи, когда векторы , и расположены вдоль координатных осей (рис. 33).

Во всех этих случаях объем параллелепипеда, построенного на векторах, может быть вычислен по формуле: . Причем произведение должно быть взято со знаком плюс в тех случаях, когда векторы образуют правую тройку векторов; и со знаком минус, когда – левую. Это наблюдение позволяет, подобно тому, как мы это сделали для площади, ввести понятие ориентированного объема.

Определение (24)

Ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах, образующих правую тройку, будем считать положительным, а объем, построенный на векторах, образующих левую тройку – отрицательным.

Обозначение

Ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , будем обозначать , в отличие от "обычного" объема .

Мы пока еще не рассмотрели все возможные варианты расположения векторов. Мы не рассмотрели случаев расположения вектора вдоль осей y и z. То же самое можно сказать и об остальных векторах. Всего таких случаев может быть 48. Ясно, что мы этого делать не будем. Вместо этого мы сразу перейдем к произвольному расположению векторов, получим общее выражение для ориентированного объема и проверим, на всякий случай, какой-нибудь частный вариант. Имея в своем распоряжении общую формулу, читатель может, при желании, проверить остальные варианты. В дальнейшем, когда мы познакомимся с теорией линейных преобразований, мы получим элегантный инструмент, который позволит решить все эти проблемы сразу.

Наши дальнейшие рассуждения будут опираться на простой геометрический факт: объем параллелепипеда не изменится, если любую его грань произвольно переместить в своей плоскости параллельно самой себе.

Допустим, что мы переместили верхнюю грань параллелепипеда так, как это показано на рис. 31. Тогда вектор преобразуется в вектор . Вектор целиком лежит в плоскости верхней грани, следовательно, он параллелен нижней грани, в которой лежат векторы и . Но в этом случае он может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов: . Следовательно, при данной трансформации параллелепипеда, вектор преобразуется в вектор . Подобные преобразования параллелепипеда и соответствующие им преобразования тройки векторов, на которых он построен, будем называть элементарными или линейными преобразованиями. Для нас важно, что при любых линейных преобразованиях параллелепипеда и векторов, на которых он построен, объем параллелепипеда все время остается неизменным. Более того, линейные операции не изменяют и ориентацию, определяемую этой тройкой векторов. Следовательно, .

Теперь после всех этих замечаний перейдем непосредственно к нашей задаче.

Пусть , и – некоторые некомпланарные векторы общего положения. Отложим их от начала координат. На рис. 35 сплошными линиями показан параллелепипед, построенный на этих векторах.

Теперь выполним следующие элементарные преобразования параллелепипеда, не приводящие к изменению объема и ориентации.

1. Переместим верхнюю грань параллелепипеда в своей плоскости параллельно самой себе таким образом, чтобы его ребро, совпадающее с вектором , совпало с осью z. Если верхняя грань не параллельна оси z, то такое преобразование возможно. Вектор при этом перейдет в вектор . Найдем его координаты.

.

Полученное равенство эквивалентно системе линейных уравнений:

,

решая которую, получаем:

, обозначив для краткости числитель стоящей в правой части дроби Δ, мы можем записать, что , где

.

Полученное выражение, как мы уже отметили, не имеет смысла, когда верхняя грань параллелепипеда параллельна оси z. В самом деле, знаменатель дроби, стоящей в правой части, по смыслу равен ориентированной площади параллелограмма, построенного на проекциях векторов , : (рис. 36).

Если векторы и лежат в плоскости, параллельной оси z, то параллелограмм вырождается в прямую линию и его площадь, естественно, равна нулю. Отметим для себя этот частный случай, но не будем на нем задерживаться.

Продолжим преобразования в соответствии с рис. 35 (средний рисунок). В получившемся после первого преобразования параллелепипеде переместим правую грань таким образом, чтобы вектор преобразовался в вектор , параллельный оси y. Естественно, что такое преобразование возможно только в том случае, когда правая грань не параллельна оси y. Найдем координаты этого вектора.

.

Обозначив , перепишем матричное равенство в виде системы уравнений:

Решая эту систему, получаем:

и .

Если мы не рассматриваем случай, когда перемещаемая грань параллелепипеда параллельна оси y, то не может равняться нулю и решение имеет смысл.

Теперь выполним последнее преобразование: переместим переднюю грань образовавшегося после первых двух преобразований параллелепипеда таким образом, чтобы его ребро, совпадающее с вектором , совпало бы с осью x (рис. 35, справа). Это преобразование всегда возможно, если возможны первые два. Вектор при этом переходит в вектор

.

Даже не решая этого уравнения, можно сказать, что и, следовательно:

.

В результате преобразований мы получили параллелепипед, построенный на векторах , и , объем которого равен объему первоначального параллелепипеда общего положения. Расположение же векторов , и , по отношению к осям координат соответствует случаям, которые показаны на рис. 32. Это позволяет нам записать общее выражение для ориентированного объема:

или, что то же самое,

.

Данная формула получена нами для произвольного расположения векторов , и , за исключением тех некоторых случаев, которые мы отметили при ее выводе.

Можно ли подтвердить правильность формулы, если мы не можем провести первое преобразование по причине параллельности верхней грани параллелограмма оси z? Никакая грань не может быть параллельна сразу всем осям координат. Пусть она не параллельна оси x. Тогда мы можем переместить эту грань таким образом, чтобы ребро параллелепипеда, совпадающее с вектором , совместилось с этой осью. Словом, мы всегда можем выполнить преобразования, аналогичные тем, которые мы провели. Разница только в том, что векторы , и в результате будут лежать не на тех осях. Пусть, например,

, и , тогда

или короче – . Но векторы , и образуют в этом случае левую тройку векторов, и, следовательно, формула верна. Конечно, это не исчерпывает всех возможных вариантов, но, как мы сказали уже об этом раньше, полное доказательство полученной формулы мы отложим до лучших времен.

..Определитель третьего порядка и его свойства

Определение (25)

Выражение
называется определителем третьего порядка.

В общем случае понятие определителя вводится для квадратной матрицы в курсе линейной алгебры. Воспользовавшись принятыми в этой науке обозначениями, мы можем записать:

.

Для обозначения определителя, составленного из координат векторов, мы будем также использовать краткое обозначение .

Запишем формулу для вычисления объема с учетом этих обозначений.

.

На свойстве определителей мы подробно останавливались, когда говорили об определителях второго порядка. Все свойства, о которых мы тогда говорили, остаются в силе и для определителей третьего порядка. Тогда мы их насчитали одиннадцать. Но есть еще одно свойство, о котором мы не могли сказать раньше – двенадцатое.

Двенадцатое свойство определителя.

Для того, чтобы получить это свойство, преобразуем выражение

.

Следовательно:

.

Поскольку выражения в скобках являются определителями второго порядка, мы имеем право записать:

.

Полученное выражение называется разложением определителя по первому столбцу. Аналогичное выражение может быть получено и для строки. Правило разложения определителя по столбцу является последним свойством, которое мы отметим. Данное свойство позволяет свести проблему вычисления определителя третьего порядка к проблеме вычисления определителя второго порядка. Вообще-то вычисление определителя второго и третьего порядка не вызывает особых трудностей. Здесь можно вспомнить два правила, которые придумал страсбургский профессор Фредерик Саррюс: правило треугольников и правило приписывания столбцов. Значение данного свойства в том, что оно позволяет вычислять, а при желании, и формально ввести в его помощью определители более высоких порядков. Например, определитель четвертого порядка может быть введен так:

.

Мы еще раз выражаем надежду, что читатель знаком с теорией определителей по курсу линейной алгебры, потому что мы не можем больше останавливаться на этом предмете.

Осталось сделать замечание, аналогичное тому, что мы сделали, когда речь шла об ориентированной площади. Если мы поменяем местами любые два базисных вектора или изменим направление одного из них на противоположное, то и знак определителя

изменится.

Следовательно, изменится знак ориентированного объема, поскольку .

Выходит, формула для вычисления объема дает его значение по отношению к базисной системе векторов – в левом базисе, в частности, объем параллелепипеда построенного на правой тройке векторов будет отрицательным.