Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

.Метод координат

Метод, который мы начинаем изучать в этой главе, определяет наиболее сильную сторону векторной алгебры. Вот, что об этом говорит Петр Константинович Рашевский:

"... большую и часто ведущую роль в геометрии играет координатный метод. Здесь геометрические образы изучаются не непосредственно геометрически, а методами алгебры (аналитическая геометрия), а затем и анализа (дифференциальная геометрия). Огромная сила этого метода основана на то, что он применяет к геометрии сильный, хорошо развитый вычислительный аппарат алгебры и анализа. В результате удается ставить и решать вопросы, лишь малая часть которых укладывается в сравнительно узкие рамки прямых геометрических методов" [13, с. 103].

..Коллинеарные векторы

Определение (15)

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны.

Если бы мы всегда имели дело с геометрическими векторами, то новое слово "коллинеарные" было бы излишним. Понятие о параллельных объектах слишком сильно связано с нашими геометрическими представлениями. Однако в математике слово "вектор" имеет более широкое значение, и применяется для таких векторов, про которые мы не можем сказать, что они параллельны.

Поскольку векторы, которые могут быть совмещены при помощи параллельного переноса, считаются равными, можно коллинеарные векторы рассматривать как лежащие на одной прямой.

Любые два вектора, лежащие на одной прямой, могут различаться длинами и могут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Поэтому для любых двух коллинеарных векторов и справедливо соотношение: , где – действительное число.

Определение (16)

Если один из векторов, не равный нулю, мы примем за меру и обозначим его , то все остальные векторы могут быть представлены в единообразной форме . Вектор называется при этом базисным вектором, а – координатой вектора относительно данного базиса. Векторы базиса можно писать без "векторной" черты сверху. Нетрудно видеть, что . Можно также написать, что .

Конечно, для коллинеарных векторов все эти определения и обозначения являются излишними, и мы ввели их для того, чтобы использовать в более сложных и интересных случаях.

..Компланарные векторы

Определение (17)

Векторы называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Поскольку свободные векторы можно переносить параллельно самим себе в пространстве, то можно считать, что все компланарные векторы лежат в одной плоскости.

Любой вектор, параллельный прямой, можно выразить через базисный вектор на этой прямой , но если вектор на этой прямой не лежит, то этого сделать уже нельзя. Однако, если мы выберем на плоскости два базисных вектора и , то любой другой вектор уже может быть выражен в виде линейной комбинации базисных векторов . При этом векторы и называются базисом, а числа и координатами вектора в этом базисе.

В самом деле, спроектируем вектор на прямую, совпадающую с вектором , по направлению вектора и на прямую, совпадающую с вектором , по направлению вектора (рис. 12).

Очевидно, что . Поскольку каждую проекцию в свою очередь можно выразить через базисный вектор, то . Где,

..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве

Два вектора всегда являются компланарными так же, как три точки всегда лежат в одной плоскости. Но три вектора уже могут не быть компланарными, и тогда любой из них не может быть выражен через два других. Но, если мы выберем в пространстве три некомпланарных базисных вектора, то любой четвертый уже может быть выражен через них в виде линейной комбинации.

Поступая аналогично тому, как мы это сделали для "плоского" случая, спроектируем вектор на базисные векторы , и при помощи проектирующих плоскостей ( ), () и () (рис. 13). Выразив каждую из проекций через соответствующий вектор базиса, получим:

.

То же самое в сокращенной записи:

.

Соглашение Эйнштейна об обозначениях

Поскольку в векторной алгебре подобного рода суммы встречаются часто, то по предложению А. Эйнштейна принято знак суммы опускать. С учетом соглашения А. Эйнштейна, последнее равенство можно переписать в более компактном виде: .

Вот и все, надо только не забывать, что последняя запись является всего лишь сокращением предыдущей. Символ i в последнем выражении можно заменить любым другим, и от этого ничего не изменится, поэтому его называют немым символом. Немой символ пробегает все возможные значения. В нашем случае – это 1, 2, 3. Интересно, что последнее выражение в сокращенной записи А. Эйнштейна выглядит совершенно одинаково для всех трех случаев, которые мы рассмотрели, если учесть, что для векторов на плоскости i принимает значения 1 и 2, а для векторов на прямой единственное значение – 1.

Уточним понятие базиса. Прежде всего, базисные векторы – это такие векторы, через которые могут быть однозначно выражены остальные. Но таких векторов много, и, когда мы говорим о векторах базиса, предполагается, что какие-то векторы для этой цели мы уже выбрали. В трехмерном пространстве мы можем выбрать в качестве базиса любые три некомпланарных вектора.

..Линейная зависимость векторов и размерность пространства

Определение (19)

Векторы называются линейно зависимыми, если можно подобрать не все равные нулю числа , такие что выполняется равенство: .

С другой стороны, если таких чисел не существует, то векторы называются линейно независимыми.

1. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

В самом деле, пусть векторы линейно зависимы. Тогда , и среди чисел есть не равные нулю. Пусть, для определенности, не равно нулю первое число . В этом случае мы имеем право записать: . Но это означает, что векторы лежат в одной плоскости, если, конечно, их перенести к одному началу. Следовательно, векторы компланарны.

С другой стороны, если векторы компланарны, то можно считать, что они лежат в одной плоскости. Здесь возможны варианты, которые мы рассмотрим по отдельности.

Вариант 1.

Один из векторов является нулевым вектором. Пусть, для определенности, это будет первый вектор. В этом случае мы можем записать: .

Вариант 2.

Среди векторов нет нулевых векторов, но есть коллинеарные. Пусть, для определенности, коллинеарными являются первые два вектора. Но в этом случае, первый вектор может быть выражен через второй: , и, следовательно, .

Вариант 3.

Среди векторов нет нулевых векторов, и все векторы не являются попарно коллинеарными. В этом случае все векторы могут быть перенесены в одну плоскость, и любой из них может быть разложен по остальным как по векторам базиса. Следовательно, , и мы снова получаем, что: .

2. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Здесь также возможны два варианта.

Вариант 1.

Какие либо три вектора являются компланарными. Пусть, для определенности, этими векторами будут первые три. В этом случае мы можем подобрать не все равные нулю числа так, что . Но тогда

Вариант 2.

Любые три вектора не являются компланарными. В этом случае любой из четырех векторов может быть разложен по остальным трем как по базису , и мы можем записать, что .

Следовательно, в обоих возможных случаях четыре вектора являются линейно зависимыми.

Резюмирую все эти результаты, можно сказать, что в трехмерном пространстве мы всегда можем выбрать три линейно независимых вектора. В то же время, любые четыре вектора являются линейно зависимыми.

Мы также показали, что в плоскости любые три вектора являются линейно зависимыми, в то же время в плоскости всегда можно найти два линейно независимых вектора, так как для этого достаточно, чтобы они не были коллинеарны.

Это дает нам основание дать следующее определение размерности пространства векторов.

Определение размерности пространства (20)

Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называется его размерностью.

Размерность пространства совпадает с числом базисных векторов этого пространства. Поскольку любой вектор может быть разложен по векторам базиса, мы можем дать следующее определение координат вектора в произвольном базисе.

Определение координат вектора (21)

Коэффициенты , , , ...  в разложении вектора по базису , ,  ...  называются координатами вектора в этом базисе.

Определения, приведенные в этом разделе, хороши тем, что они легко обобщаются на пространства любых размерностей. Но зачем это нужно? Ведь мы прекрасно знаем, что наше привычное и уютное пространство трехмерно. Можно еще говорить о двумерном пространстве векторов на плоскости или об одномерном – на прямой. Но поскольку больше трех не бывает, стоит ли городить весь этот огород?

Что представляет собой, к примеру, четырехмерное пространство? На этот вопрос любой физик-теоретик скажет, что наше пространство только приближенно можно считать трехмерным. Пространство не существует вне времени, а вместе со временем оно образует четырехмерное пространство-время. В более "продвинутых" теориях уже невозможно обойтись без одиннадцати-мерных пространств. Но даже если все эти теоретические абстракции душа не принимает, и мы ни за что не хотим покидать привычного трехмерного пространства, нам все равно не уйти от представления о многомерных пространствах. Ну, хорошо, наше пространство трехмерно, но почему оно трехмерно? Уже сама постановка этого вопроса предполагает необходимость говорить и размышлять о пространствах с большим числом измерений.

Есть и более прагматические причины для интереса к многомерным пространствам. Например, вектор-столбцы и вектор-строки – типичные объекты матричной алгебры – являются векторами в смысле нашего общего определения вектора (8).

Пусть, скажем,

, , , , .

С этими формальными векторами мы можем обращаться, как с обычными векторами, например, разложить вектор по базису , , , :

.

Такого рода формальные структуры с необходимостью возникают в различных областях знания и очень приятно, что не нужно каждый раз строить заново всю теорию.