В. Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников
Суперобложка / Обложка / Содержание
Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Свойства символов Веблена ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица .Доказательство теоремы об определителе .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии |
![]() |
Мы уже упоминали, что предполагаем знакомство читателя с теорией определителей и теорией матриц. И если мы и собираемся остановиться на свойствах определителей второго порядка, то только для того, чтобы акцентировать внимание на их геометрическом смысле.
Прежде всего, обратимся
снова к основной формуле
и дадим для нее чисто геометрический вывод.
Пусть
и
– два произвольных вектора (рис. 27). Построим на них
параллелограмм OABC.
Сторону параллелограмма
BC продолжим до пересечения с осью x
в точке D. Очевидно, что площади
параллелограммов OABC и OAMD
совпадают. Также очевидно, что площадь параллелограмма OAMD
совпадает с площадью прямоугольника ONED.
Площадь же прямоугольника ONED, в
свою очередь, равна площади прямоугольника ONFG,
за вычетом площади прямоугольника EFGD.
Следовательно,
.
Но
.
Осталось найти площадь прямоугольника EFGD.
Высота этого прямоугольника равна
,
а ширина – DG, которая, в свою
очередь, равна MH. Для того, чтобы
найти длину отрезка MH, рассмотрим
треугольники GFH и CFM.
Эти треугольники подобные, и, следовательно,
или
и
.
Теперь можно найти площадь прямоугольника EFGD:
.
Откуда и следует искомая формула:
.
Все свойства определителя второго порядка непосредственно вытекают из этой формулы, которая может рассматриваться в качестве его определения, – приведем ее еще раз:
.
1. При умножении элементов любого столбца определителя на число α, его величина умножается на это же число.
.
Геометрически это означает, что если мы увеличим одну из сторон параллелограмма в α раз, то и площадь его увеличится во столько же раз (рис. 28).
2. Если один из
столбцов определителя
может быть представлен в виде суммы столбцов
,
то определитель
равен сумме определителей
и
:
.
Геометрическая иллюстрация этого свойства представлена на рис. 29. Площадь параллелограмма AEFD равна сумме площадей параллелограммов ABCD и BEFC.
3. При перестановке строк определитель изменяет знак на противоположный.
,
конечно, ведь при этом изменяется ориентация, задаваемая векторами
и
.
4. Если один из столбцов определителя равен нулю, то и определитель равен нулю. Это свойство очевидно.
5. Если к одному из
столбцов определителя прибавить другой, умноженный на произвольное
число, то величина определителя не изменится:
.
Это свойство мы уже неоднократно использовали. Формальное
доказательство может быть получено на основе определения.
.
6. Определитель с одинаковыми строками равен нулю.
Геометрический смысл этого свойства очевиден: "площадь" параллелограмма, построенного на двух параллельных векторах, равна нулю.
7. Определитель с пропорциональными строками равен нулю. Следует из свойства 6 и 1.
8. Определитель единичной матрицы равен единице.
.
9. Определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
.
10. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
.
Можно показать то же
самое проще:
.
11. Если в определителе строки поменять местами со столбцами, то определитель не изменится.
.
Это мало примечательный в геометрическом отношении факт, имеющий важное алгебраическое следствие: координаты векторов можно вставлять в определитель, как в качестве столбцов, так и в качестве строк. Свойства определителя симметричны по отношению к столбцам и строкам – все, что сказано в отношении столбцов, в равной мере относится и к строкам.
Задачи, которые мы собираемся решить, являются полезными теоремами элементарной геометрии.
1. Доказать, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Доказательство.
;
;
,
и, следовательно,
.
2. Теорема о площадях треугольников, имеющих равные углы.
Если угол одного треугольника равен углу другого, то площади их относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Пусть треугольники ABC и AED имеют равные углы. Совместим стороны, заключающие эти углы (рис. 31). Проведем векторы
,
,
,
.
Так как векторы
и
лежат на одной прямой, то
,
где
и
.
Аналогично
.
,
.
Следовательно,
=>
.
3. Теорема о биссектрисе.
Биссектриса делит противоположную сторону треугольника на части в отношении, равном отношению сторон, прилежащих к этим частям.
Применяя теорему об
отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, сразу
получаем:
.
Далее:
.
Далее:
;
,
и, следовательно,
.
Сопоставляя последнее отношение с первым, получаем:
,
что и требовалось доказать.
Этой традиционной фразой мы и закончим разговор о площадях и определителях второго порядка. Хотя, если честно, то нам гораздо более хотелось, если не доказать, то показать полезность применения определителей при решении чисто геометрических задач.
Настало время переходить к пространству с тремя измерениями.