Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ...Проекция точки на плоскость ...Проекция вектора на плоскость ..Ортогональная проекция вектора в пространстве ...Ортогональная проекция вектора на плоскость ...Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов ...Свойства скалярного умножения ...Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах ..Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах .Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

..Свойства определителя второго порядка

Мы уже упоминали, что предполагаем знакомство читателя с теорией определителей и теорией матриц. И если мы и собираемся остановиться на свойствах определителей второго порядка, то только для того, чтобы акцентировать внимание на их геометрическом смысле.

Прежде всего, обратимся снова к основной формуле и дадим для нее чисто геометрический вывод.

Пусть и – два произвольных вектора (рис. 27). Построим на них параллелограмм OABC.

Сторону параллелограмма BC продолжим до пересечения с осью x в точке D. Очевидно, что площади параллелограммов OABC и OAMD совпадают. Также очевидно, что площадь параллелограмма OAMD совпадает с площадью прямоугольника ONED. Площадь же прямоугольника ONED, в свою очередь, равна площади прямоугольника ONFG, за вычетом площади прямоугольника EFGD. Следовательно, . Но . Осталось найти площадь прямоугольника EFGD. Высота этого прямоугольника равна , а ширина – DG, которая, в свою очередь, равна MH. Для того, чтобы найти длину отрезка MH, рассмотрим треугольники GFH и CFM. Эти треугольники подобные, и, следовательно, или и . Теперь можно найти площадь прямоугольника EFGD: . Откуда и следует искомая формула:

.

Все свойства определителя второго порядка непосредственно вытекают из этой формулы, которая может рассматриваться в качестве его определения, – приведем ее еще раз:

.

1. При умножении элементов любого столбца определителя на число α, его величина умножается на это же число.

.

Геометрически это означает, что если мы увеличим одну из сторон параллелограмма в α раз, то и площадь его увеличится во столько же раз (рис. 28).

2. Если один из столбцов определителя может быть представлен в виде суммы столбцов , то определитель равен сумме определителей и :

.

Геометрическая иллюстрация этого свойства представлена на рис. 29. Площадь параллелограмма AEFD равна сумме площадей параллелограммов ABCD и BEFC.

3. При перестановке строк определитель изменяет знак на противоположный.

, конечно, ведь при этом изменяется ориентация, задаваемая векторами и .

4. Если один из столбцов определителя равен нулю, то и определитель равен нулю. Это свойство очевидно.

5. Если к одному из столбцов определителя прибавить другой, умноженный на произвольное число, то величина определителя не изменится: . Это свойство мы уже неоднократно использовали. Формальное доказательство может быть получено на основе определения.

.

6. Определитель с одинаковыми строками равен нулю.

Геометрический смысл этого свойства очевиден: "площадь" параллелограмма, построенного на двух параллельных векторах, равна нулю.

7. Определитель с пропорциональными строками равен нулю. Следует из свойства 6 и 1.

8. Определитель единичной матрицы равен единице.

.

9. Определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:

.

10. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

.

Можно показать то же самое проще: .

11. Если в определителе строки поменять местами со столбцами, то определитель не изменится.

.

Это мало примечательный в геометрическом отношении факт, имеющий важное алгебраическое следствие: координаты векторов можно вставлять в определитель, как в качестве столбцов, так и в качестве строк. Свойства определителя симметричны по отношению к столбцам и строкам – все, что сказано в отношении столбцов, в равной мере относится и к строкам.

..Задачи на применение определителей

Задачи, которые мы собираемся решить, являются полезными теоремами элементарной геометрии.

1. Доказать, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Доказательство.

;

;

,

и, следовательно, .

2. Теорема о площадях треугольников, имеющих равные углы.

Если угол одного треугольника равен углу другого, то площади их относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Пусть треугольники ABC и AED имеют равные углы. Совместим стороны, заключающие эти углы (рис. 31). Проведем векторы

, , , . Так как векторы и лежат на одной прямой, то , где и . Аналогично .

, .

Следовательно, => .

3. Теорема о биссектрисе.

Биссектриса делит противоположную сторону треугольника на части в отношении, равном отношению сторон, прилежащих к этим частям.

Применяя теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, сразу получаем: .

Далее:

.

Далее: ;

,

и, следовательно, .

Сопоставляя последнее отношение с первым, получаем:

, что и требовалось доказать.

Этой традиционной фразой мы и закончим разговор о площадях и определителях второго порядка. Хотя, если честно, то нам гораздо более хотелось, если не доказать, то показать полезность применения определителей при решении чисто геометрических задач.

Настало время переходить к пространству с тремя измерениями.